Question

5．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，假設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且其方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，由標(biāo)準(zhǔn)方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，進(jìn)而由點(diǎn)到直線距離公式可得焦點(diǎn)到漸近線的距離d=$\frac{|b×\sqrt{{a}^{2}+^{2}}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，結(jié)合題意可得a=b，由雙曲線的性質(zhì)可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，進(jìn)而由離心率公式可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，假設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且其方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，0），漸近線方程y=±$\frac{a}$x，即bx±ay=0
焦點(diǎn)到漸近線的距離d=$\frac{|b×\sqrt{{a}^{2}+^{2}}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
又由該雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半實(shí)軸長，則有a=b，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則該雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離．