Question

5．已知f（x）=sin²（π+x）-cos（2π-x）+a
（1）求f（x）的值域
（2）若f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式并進(jìn)行配方，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性求值域；
（2）結(jié)合（1）的解析式以及角度范圍求出方程$-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{5}{4}$=0在（0，$\frac{π}{2}$）有解的關(guān)于a 的不等式，解之即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²（π+x）-cos（2π-x）+a
=sin²x-cosx+a=-cos²x-cosx+a+1=$-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{5}{4}$，x∈R，cosx∈[-1，1]，
所以cosx=$-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）最大值為$a+\frac{5}{4}$，cosx=1時(shí)，f（x）最小值為-1+a；
所以f（x）的值域[-1+a，a+$\frac{5}{4}$]；
（2）若f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有零點(diǎn)，
$-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{5}{4}$=0在（0，$\frac{π}{2}$）有解，
又（cosx+$\frac{1}{2}$）²∈（$\frac{1}{4}，\frac{9}{4}$），
所以$\frac{1}{4}$＜a+$\frac{5}{4}$＜$\frac{9}{4}$，解得-1＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的有界性以及三角函數(shù)的零點(diǎn)；注意角度范圍對(duì)值域的影響．