Question

15．如圖，已知平面BCC₁B₁是圓柱的軸截面（經(jīng)過圓柱的軸截面）BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線CC₁的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA₁=4
（1）求證：B₁O⊥平面AEO
（2）求二面角B₁-AE-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）依題意可知，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能證明B₁O⊥平面AEO．
（2）求出平面AEO的法向量和平面B₁AE的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-AE-F的余弦值．

解答 證明：（1）依題意可知，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，因?yàn)锳B=AC=AA₁=4，
則A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B₁（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）
$\overrightarrow{{B}_{1}O}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{EO}$=（2，-2，-2），$\overrightarrow{AO}$=（2，2，0），（3分）
$\overrightarrow{{B}_{1}O}$•$\overrightarrow{EO}$=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}O}$⊥$\overrightarrow{EO}$，∴B₁O⊥EO，
$\overrightarrow{{B}_{1}O}•\overrightarrow{AO}$=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴$\overrightarrow{{B}_{1}O}$⊥$\overrightarrow{AO}$，∴B₁O⊥AO，（5分）
∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO，
∴B₁O⊥平面AEO．（6分）
（2）由（1）知，平面AEO的法向量為$\overrightarrow{{B}_{1}O}$=（-2，2，-4），（7分）
設(shè)平面 B₁AE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AE}=（0，4，2），\overrightarrow{{B}_{1}A}=（-4，0，-4=0$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}A}=x+z=0}\end{array}\right.$，令x=2，則$\overrightarrow{n}$=（2，2，-2），（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{B}_{1}O}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}O}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{B}_{1}O}|}$=$\frac{6}{\sqrt{9}×\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角B₁-AE-F的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．