Question

20．設(shè)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x-2y≥0}\\{x-y≤1}\end{array}}\right.$，并設(shè)滿足該條件的點(diǎn)（x，y）所形成的區(qū)域?yàn)棣�，則
（1）Z=x²+y²-2y的最小值為$-\frac{1}{5}$；
（2）包含Ω的面積最小的圓的方程為x²+y²-3x+y=0．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：x，y滿足的平面區(qū)域如圖：
（1）Z=x²+y²-2y=x²+（y-1）²-1的最小值為（0，1）到直線x-2y=0的距離的平方減去1，為|$\frac{2}{\sqrt{5}}$|²-1=-$\frac{1}{5}$；
（2）包含Ω的面積最小的圓的方程即為三角形區(qū)域的外接圓方程，則此時(shí)過點(diǎn)O，
B（2，1），A（0，-1）三點(diǎn)的圓，
設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，得到$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{5+2D+E+F=0}\\{1-E+F=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{D=-3}\\{E=1}\\{F=0}\end{array}\right.$，
所以包含Ω的面積最小的圓的方程為
x²+y²-3x+y=0．
故答案為：$-\frac{1}{5}$；x²+y²-3x+y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及圓的方程的求解．利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．