Question

10．四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若該四棱錐的所有頂點都在表面積為16π的同一球面上，則PA=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連結AC、BD，交于點E，則E是AC中點，取PC中點O，連結OE，推導出O是該四棱錐的外接的球心，可得球半徑，由四棱錐的所有頂點都在表面積為16π，建立方程求出PA即可．

解答 解：連結AC，BD交于點E，取PC的中點O，連結OE，則OE∥PA，所以OE⊥底面ABCD，則O到四棱錐的所有頂點的距離相等，即O球心，均為$\frac{1}{2}PC$=$\frac{1}{2}\sqrt{P{A}^{2}+8}$，
所以由球的表面積可得4π（$\frac{1}{2}\sqrt{P{A}^{2}+8}$）²=16π，解得PA=$2\sqrt{2}$，
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查四面體的外接球的表面積，考查勾股定理的運用，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．