Question

15．已知函數(shù)$f（x）=16f'（2）lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}+2f（1）$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=-x²+2bx-4，若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解f′（2），推出函數(shù)的解析式，通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，問題等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，分別求解兩個(gè)函數(shù)的最小值，通過b的范圍討論推出結(jié)果．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{16f'（2）}{x}-\frac{1}{4}-\frac{3}{{4{x^2}}}（x＞0）$，
∴$f'（2）=\frac{16f'（2）}{2}-\frac{1}{4}-\frac{3}{16}⇒f'（2）=\frac{1}{16}$，
∴$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}+2f（1）⇒f（1）=ln1-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+2f（1）⇒f（1）=-\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1（x＞0）$，∴$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}-\frac{3}{{4{x^2}}}=\frac{{4x-{x^2}-3}}{{4{x^2}}}$，
由x＞0及f'（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f'（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，3），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（3，+∞）．
（2）若對(duì)任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
問題等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，
由（1）可知，在（0，2）上，x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，
這個(gè)極小值點(diǎn)是唯一的極值點(diǎn)，故也是最小點(diǎn)，
所以$f{（x）_{min}}=f（1）=-\frac{1}{2}$，g（x）=-x²+2bx-4，x∈[1，2]，
當(dāng)b＜1時(shí)，g（x）_max=g（1）=2b-5；
當(dāng)1≤b≤2時(shí)，$g{（x）_{max}}=g（b）={b^2}-4$；
當(dāng)b＞2時(shí)，g（x）_max=g（2）=4b-8；
問題等價(jià)于$\left\{{\begin{array}{l}{b＜1}\\{-\frac{1}{2}≥2b-5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{1≤b≤2}\\{-\frac{1}{2}≥{b^2}-4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{b＞2}\\{-\frac{1}{2}≥4b-8}\end{array}}\right.$，
解得b＜1或$1≤b≤\frac{{\sqrt{14}}}{2}$或b∉φ，即$b≤\frac{{\sqrt{14}}}{2}$，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是$（-∞，\frac{{\sqrt{14}}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．