Question

8．已知△AB的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)Γ：x²=y上運(yùn)動(dòng)，
（1）求Γ的準(zhǔn)線(xiàn)方程；
（2）若點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，B，C是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）拋物線(xiàn)Γ：x²=y得2p=1，即可求Γ的準(zhǔn)線(xiàn)方程；
（2）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，得x₁x₂+x₁²x₂²=0，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)Γ：x²=y得2p=1，∴Γ的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-$\frac{1}{4}$；
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），M（x，y），則
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，得x₁x₂+x₁²x₂²=0，
∵x₁x₂≠0，∴x₁x₂=-1，
∵2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂=x₁²+x₂²，
∴（2x）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂=2y-2，即點(diǎn)M的軌跡方程是x²=$\frac{1}{2}$（y-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．