Question

19．已知函數f（x）=$\frac{3}{2}{x^2}$+2ax+lnx，a∈R
（1）討論函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）在$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$內單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；（2）結合（1）得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{3x}^{2}+2ax+1}{x}$，
令g（x）=3x²+2ax+1，
△=4（a²-3），
a＞$\sqrt{3}$時，△＞0，
令g（x）=0，解得：x=$\frac{-a±\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$＜0，
∴g（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）遞增；
-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$時，△≤0，g（x）≥0在R恒成立，
故f（x）在（0，+∞）遞增，
a＜-$\sqrt{3}$時，x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$）遞增，
在（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$）遞增，在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$，+∞）遞減；
綜上，a≥-$\sqrt{3}$時，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＜-$\sqrt{3}$時，f（x）在（0，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$）遞增，
在（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$）遞增，在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}$，+∞）遞減．
（2）若函數f（x）在$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$內單調遞減，
由（1）得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}≤\frac{1}{3}}\\{\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-3}}{3}≥\frac{2}{3}}\\{a＜-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：a≤-2．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．