Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，點M與C的焦點不重合，若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，點M關(guān)于橢圓C上任意一動點的對稱點為N，則|AN|+|BN|=20．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點連接橢圓的兩個焦點，便會得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及橢圓上的點到兩焦點的距離和為2a即可求出|AN|+|BN|．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，a=5，b=4，c=3
設(shè)MN的中點為Q，橢圓C的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
如圖，連接QF₁，QF₂，
∵F₁是MA的中點，Q是MN的中點，
∴F₁Q是△MAN的中位線；
丨QF₁丨=$\frac{1}{2}$丨AN丨，
同理：丨QF₂丨=$\frac{1}{2}$丨NB丨，
∵Q在橢圓C上，
∴|QF₁|+|QF₂|=2a=10，
∴|AN|+|BN|=2（|QF₁|+|QF₂|）=20．
故答案為20．

點評 本題考查橢圓的定義，橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的中位線定理，屬于中檔題．