Question

18．如圖，在幾何體A₁B₁D₁-ABCD中，四邊形A₁B₁BA與A₁D₁DA均為直角梯形，且AA₁⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=2A₁D₁=2A₁B₁=4，AA₁=4，P為DD₁的中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥PC；
（Ⅱ）求平面B₁CD₁與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AB₁⊥PC．
（Ⅱ）求出平面B₁CD₁的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出平面B₁CD₁與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵幾何體A₁B₁D₁-ABCD中，四邊形A₁B₁BA與A₁D₁DA均為直角梯形，
且AA₁⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵AB=2A₁D₁=2A₁B₁=4，AA₁=4，P為DD₁的中點．
∴A（0，0，0），B₁（2，0，4），C（4，4，0），
D（0，4，0），D₁（0，2，4），P（0，3，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{PC}$=（4，1，-2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{PC}$=8+0-8=0，
∴AB₁⊥PC．
解：（Ⅱ）B₁（2，0，4），C（4，4，0），
D₁（0，2，4），P（0，3，2），B（4，0，0），
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（-2，-4，4），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（-4，-2，4），
$\overrightarrow{PB}$=（4，-3，-2），$\overrightarrow{PC}$=（4，1，-2），
設平面B₁CD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=-2x-4y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-4x-2y+4z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{3}{2}$），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=4a-3b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=4a+b-2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，2），
設平面B₁CD₁與平面PBC所成的銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{\frac{17}{4}}•\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{85}}{85}$．
∴平面B₁CD₁與平面PBC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{8\sqrt{85}}{85}$．

點評 本題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系及二面角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．