Question

3．已知函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=log₄（4^x+1）．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）-$\frac{1}{2}{log_2}（{a•{2^x}+2\sqrt{2}a}）（{a＞0}）$在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性列出方程組求解即可得到函數(shù)的解析式．
（2）利用函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)換元法，對(duì)a討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)椋?f（x）+g（x）={log_4}（{{4^x}+1}）$…①，
∴$f（{-x}）+g（{-x}）={log_4}（{{4^{-x}}+1}）$，∴$f（x）-g（x）=lo{g}_{4}（{4}^{x}+1）-x$…②
由①②得，$f（x）={log_4}（{{4^x}+1}）-\frac{x}{2}$，$g（x）=\frac{x}{2}$．
（2）由$h（x）=f（x）-\frac{1}{2}{log_2}（{a•{2^x}+2\sqrt{2}a}）={log_4}（{{4^x}+1}）-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}{log_2}（{a•{2^x}+2\sqrt{2}a}）$
=$\frac{1}{2}{log_2}（{{2^{2x}}+1}）-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}{log_2}（{a•{2^x}+2\sqrt{2}a}）=0$．
得：${log_2}\frac{{{2^{2x}}+1}}{2^x}={log_2}（{a•{2^x}+2\sqrt{2}a}）⇒（{a-1}）{2^{2x}}+2\sqrt{2}a•{2^x}-1=0$，
令t=2^x，則t＞0，即方程$（{a-1}）{t^2}+2\sqrt{2}at-1=0$…（*）只有一個(gè)大于0的根，
①當(dāng)a=1時(shí)，$t=\frac{{\sqrt{2}}}{4}＞0$，滿足條件；
②當(dāng)方程（*）有一正一負(fù)兩根時(shí)，滿足條件，則$\frac{-1}{a-1}＜0$，∴a＞1，
③當(dāng)方程（*）有兩個(gè)相等的且為正的實(shí)根時(shí)，
則△=8a²+4（a-1）=0，∴$a=\frac{1}{2}$，a=-1（舍）$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$t=2\sqrt{2}＞0$，
綜上：$a=\frac{1}{2}$或a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．