Question

14．若存在實(shí)數(shù)m，n使函數(shù)f（x）=$\sqrt{x+3}$+k的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇-n，-m]，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 可判斷f（x）在[-3，+∞）上單調(diào)遞增，從而得出$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{m+3}+k=-n}\\{\sqrt{n+3}+k=-m}\end{array}\right.$，這樣即可得到$\sqrt{m+3}+\sqrt{n+3}=1$，進(jìn)而求出$k=-\frac{m+n+1}{2}$①，可設(shè)$p=\sqrt{m+3}，q=\sqrt{n+3}$，從而求出m，n代入①整理可以得到k關(guān)于p的二次函數(shù)，求該二次函數(shù)值域即可．

解答 解：f（x）在[-3，+∞）上單調(diào)遞增；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{m+3}+k=-n}\\{\sqrt{n+3}+k=-m}\end{array}\right.$；
∴$\sqrt{m+3}-\sqrt{n+3}=m-n$=$（m+3）-（n+3）=（\sqrt{m+3}-\sqrt{n+3}）$$（\sqrt{m+3}+\sqrt{n+3}）$；
∴$\sqrt{m+3}+\sqrt{n+3}=1$；
∵$\sqrt{m+3}+\sqrt{n+3}+2k=-m-n$；
∴1+2k=-m-n；
∴$k=-\frac{m+n+1}{2}$①；
設(shè)$p=\sqrt{m+3}，q=\sqrt{n+3}$，則p+q=1；
∴m=p²-3，n=q²-3=（1-p）²-3，代入①得：
$k=-\frac{{p}^{2}-3+（1-p）^{2}-3+1}{2}$=$-（p-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$；
$p=\frac{1}{2}$時(shí)，q=$\frac{1}{2}$，此時(shí)m=n，不滿足m＜n，∴k取不到最大值$\frac{9}{4}$；
p=0時(shí)，k取最小值2；
∴k的取值范圍是$[2，\frac{9}{4}）$．
故答案為：$[2，\frac{9}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的定義及求法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，配方求二次函數(shù)值域的方法．