Question

9．已知函數(shù)f（x）=xlnx+mx²-m在定義域內(nèi)不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，根據(jù)題意可知導(dǎo)函數(shù)f′（x）不存在變號(hào)的零點(diǎn)，令f′（x）=0，則-2m=$\frac{lnx+1}{x}$，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，（x＞0），求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：f′（x）=lnx+1+2mx，
故函數(shù)f′（x）不存在變號(hào)的零點(diǎn)，
令f′（x）=0，即lnx+1+2mx=0，
則-2m=$\frac{lnx+1}{x}$，設(shè)g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，（x＞0），
g′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令g′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x在（0，1），g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x在（1，+∞），g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1函數(shù)g（x）取極大值，即函數(shù)的最大值，無最小值，
故想要f′（x）不存在變號(hào)的零點(diǎn)，即-2m≥1，即m≤-$\frac{1}{2}$，
則m的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值，著重考查恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．