Question

2．如圖，將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點在半圓上，則所得梯形的周長的最大值為10．

Answer 1

分析 畫出圖形，并分別過C，D作AB的垂線，垂足分別為F，E，可設(shè)∠EOD=θ（$θ∈（0，\frac{π}{2}）$），從而得出CD=4cosθ，$BC=AD=2\sqrt{2-2cosθ}$=$4sin\frac{θ}{2}$，這便可得出梯形的周長，換元：令$sin\frac{θ}{2}=t$，得到關(guān)于t的二次函數(shù)，配方即可求出周長的最大值．

解答 解：如圖所示，分別過C，D，作CF⊥AB，DE⊥AB，垂足為F，E；

則四邊形CDEF為矩形；
設(shè)∠EOD=θ∈$（0，\frac{π}{2}）$；
可得：CD=2OE=4cosθ，ED=2sinθ，AE=2-2cosθ；
∴BC=AD=$\sqrt{（2sinθ）^{2}+（2-2cosθ）^{2}}$=2$\sqrt{2-2cosθ}$；
∴梯形的周長=4+4cosθ+4$\sqrt{2-2cosθ}$=8$sin\frac{θ}{2}$+4（$1-2si{n}^{2}\frac{θ}{2}$）+4；
令$sin\frac{θ}{2}$=t∈$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，則：
f（t）=-8t²+8t+8=$-8（t-\frac{1}{2}）^{2}+10$；
∴t=$\frac{1}{2}$時，梯形的周長取最大值10．
故答案為：10．

點評 考查直角三角形邊的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題的方法，二倍角的余弦公式，配方求二次函數(shù)最值的方法．