Question

4．如圖，已知圓心為C的圓滿足下列條件：圓心C位于y軸的正半軸上，圓C與x軸交于A，B兩點（A在左邊，B在右邊），且|AB|=4，點B到直線AC的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若直線y=kx-1（k∈R）與圓C交于M、N兩點，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2（O為坐標原點），求k的值．

Answer 1

分析 （1）設圓C為x²+（y-a）²=r²（a＞0，r＞0），依題意設A（-2，0），B（2，0），求出直線AC的方程，由點B到直線AC的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$求得a值，進一步求得半徑，則圓C的標準方程可求；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線與圓的方程，利用根與系數(shù)的關系求得M，N的橫縱坐標的乘積，代入$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，即可求得k值．

解答 解：（1）設圓C為x²+（y-a）²=r²（a＞0，r＞0），圓心C（0，a），
依題意設A（-2，0），B（2，0），則直線AC的方程為ax-2y+2a=0．
由點B到直線AC的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，得$\frac{|2a+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+4}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，解得a=±1，
∵a＞0，∴a=1．
則r=|AC|=$\sqrt{5}$，
∴圓C的標準方程為x²+（y-1）²=5；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線y=kx-1與圓C交于M、N兩點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=5}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-4kx-1=0．
△=（-4k）²+4（1+k²）=4（5k²+1）＞0恒成立，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{1+{k}^{2}}$，
則y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1=$\frac{-4{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{1+{k}^{2}}+\frac{-4{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}=-2$，解得k=±1．

點評 本題考查圓的標準方程，直線與圓的位置關系等知識，考查運算求解能力，是中檔題．