Question

19．已知圓M（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）過(guò)點(diǎn)T（-3，-3），圓M關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱的圓為圓C，設(shè)P點(diǎn)為T點(diǎn)關(guān)于x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求圓C方程；
（2）設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值；
（3）過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB分別與x軸的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，若△PEF是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓M的方程求出圓心坐標(biāo)，再求出M關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合圓M過(guò)T求出半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案；
（2）求出P的坐標(biāo)，設(shè)Q（x₀，y₀），可得$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$=$（{x}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}+（{y}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{2}$，設(shè)D（$-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），則$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值為圓x²+y²=2上的點(diǎn)與D的距離的最小值的平方減$\frac{9}{2}$，則$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值可求；
（3）點(diǎn)P（1，1）在圓C上，由題意可知，直線PA，PB的斜率都存在且互為相反數(shù)，分別設(shè)出PA，PB的方程，聯(lián)立直線方程和冤案的方程求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出直線AB的斜率，可得${k}_{AB}=\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=1，又k_OP=1，得OP∥AB．

解答 解：（1）圓M（x+2）²+（y+2）²=r²的圓心坐標(biāo)為M（-2，-2），
設(shè)M關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱的圓為圓C（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+2}{a+2}=1}\\{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\end{array}\right.$，
解得：a=b=0，又圓M過(guò)點(diǎn)T（-3，-3），
∴r²=2，
則圓C的方程為x²+y²=2；
（2）設(shè)P（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y+3}{x+3}=1}\\{\frac{x-3}{2}+\frac{y-3}{2}+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴P（1，1），
設(shè)Q（x₀，y₀），
則$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$=（x₀-1，y₀-1）•（x₀+2，y₀+2）=（x₀-1）（x₀+2）+（y₀-1）（y₀+2）
=${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+{x}_{0}+{y}_{0}-4$=$（{x}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}+（{y}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{2}$，
設(shè)D（$-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），則$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值為圓x²+y²=2上的點(diǎn)與D的距離的最小值的平方減$\frac{9}{2}$．
∵$|QD{|}_{min}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{PQ•}\overrightarrow{MQ}$的最小值為$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-\frac{9}{2}=-4$；
（3）∵點(diǎn)P（1，1）在圓C上，由題意可知，直線PA，PB的斜率都存在且互為相反數(shù)，
設(shè)PA：y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，則PB：y=-kx+k+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（2k-2k²）x+k²-2k-1=0．
∵x=1滿足方程，
∴${x}_{A}=\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$，同理${x}_{B}=\frac{{k}^{2}+2k-1}{1+{k}^{2}}$，
∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{A}+{x}_{B}）+2k}{{x}_{B}-{x}_{A}}=1$，又k_OP=1，
∴OP∥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬中檔題．