Question

3．已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，若|PF₁|=8，橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則e₁•e₂+1的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（\frac{8}{3}，+∞）$
• C． $（\frac{4}{3}，+∞）$
• D． $（\frac{10}{9}，+∞）$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由條件可得m=8，n=2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得a₁=4+c，a₂=4-c，（c＜4），運用三角形的三邊關(guān)系求得c的范圍，再由離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=8，
即有m=8，n=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得m-n=2a₂，
即有a₁=4+c，a₂=4-c，（c＜4），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c=4c＞8，
則c＞2，即有2＜c＜4．
由離心率公式可得e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}$•$\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{16-{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{16}{{c}^{2}}-1}$，
由于1＜$\frac{16}{{c}^{2}}$＜4，則有$\frac{1}{\frac{16}{{c}^{2}}-1}$＞$\frac{1}{3}$．
則e₁•e₂+1＞$\frac{1}{3}$+1=$\frac{4}{3}$．
∴e₁•e₂+1的取值范圍為（$\frac{4}{3}$，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查三角形的三邊關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．