Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=axln（x+1）+x+1（x＞﹣1，a∈R）．
（1）若 ，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x≥0時，不等式f（x）≤ex恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： a= 時，f（x）= xln（x+1）+x+1，

f′（x）= [ln（x+1）+1﹣ ]+1，

∵f′（x）在（﹣1，+∞）遞增，且f′（﹣1+ ）=0，

故x∈（﹣1，﹣1+ ）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，

x∈（﹣1+ ，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞減，

故f（x）在（﹣1，﹣1+ ）遞減，在（﹣1+ ，+∞）；

（2）記g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，

則g′（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，

記h（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，

h′（x）=a[ + ]﹣ex，h′（0）=2a﹣1，

①a≤ 時，∵ + ∈（0，2]，ex≥1，

∴h′（x）≤0，h（x）在（0，+∞）遞減，

則h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，∴g（x）在（0，+∞）遞減，

∴g（x）≤g（0）=0恒成立，即f（x）≤ex恒成立，滿足題意；

②a≥ 時，h′（x）在（0，+∞）遞減，

又h′（0）=2a﹣1＞0，x→+∞時，h′（x）→﹣∞，

則必存在x0∈（0，+∞），使得h′（x0）=0，

則x∈（0，x0）時，h′（x）＞0，h（x）在（0，x0）遞增，

此時h（x）＞h（0）=0，

x∈（0，x0）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）遞增，

∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞ex，不合題意，

綜上，a≤ ．

【解析】（1.）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2.）記g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記h（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的具體范圍即可．

【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．