Question

8．對(duì)于定義域?yàn)镮的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆I，同時(shí)滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數(shù)y=f（x）的“好區(qū)間”．
（1）設(shè)g（x）=log_a（a^x-2a）+log_a（a^x-3a）（其中a＞0且a≠1），求g（x）的定義域并判斷其單調(diào)性；
（2）試判斷（1）中的g（x）是否存在“好區(qū)間”，并說明理由；
（3）已知函數(shù)P（x）=$\frac{（{t}^{2}+t）x-1}{{t}^{2}x}$（t∈R，t≠0）有“好區(qū)間”[m，n]，當(dāng)t變化時(shí)，求n-m 的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，在討論底數(shù)a與1的大小可得定義域．定義證明單調(diào)性．
（2）根據(jù)定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立關(guān)系求解a的值即可判斷．
（3）根據(jù)定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立關(guān)系，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題配方求解最值．

解答 解：（1）由題意：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}-2a＞0}\\{{a}^{x}-3a＞0}\end{array}\right.$，解得：a^x＞3a，
①當(dāng)a＞1時(shí)，x＞log₃（3a），函數(shù)此時(shí)定義域D=（log₃（3a），+∞）．
設(shè)x₁＜x₂，x₁，x₂∈D，
∵${a}^{{x}_{1}}＜{a}^{{x}_{2}}$，∴0＜${a}^{{x}_{1}}-2a＜{a}^{{x}_{2}}-2a$，0＜${a}^{{x}_{1}}-3a＜{a}^{{x}_{2}}-3a$，
∴$lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{1}}-2a）＜lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{2}}-2a）$，$lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{1}}-3a）＜lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{2}}-3a）$，
∴g（x₂）＞g（x₁）
故得函數(shù)g（x）在定義域D=（log₃（3a），+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜log₃（3a），函數(shù)此時(shí)定義域D=（-∞，log₃（3a））．
同理可證g（x）在定義域D=（-∞，log₃（3a））內(nèi)是增函數(shù)．
（2）假設(shè)g（x）存在“好區(qū)間”，由（1）可知?m，n∈D（m＜n，
由新定義有：$\left\{\begin{array}{l}{g（m）=m}\\{g（n）=n}\end{array}\right.$?關(guān)于x的方程在定義域D內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
即（a^x-2a）（a^x-3a）=a^x在定義域D內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．（*）
設(shè)t=a^x，則（*）?（t-2a）（t-3a）=t，即t²-（5a+1）t+6a²=0在（3a，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
令t²-（5a+1）t+6a²=P（t），
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0，且a≠1}\\{△=（5a+1）^{2}-24{a}^{2}＞0}\\{\frac{5a+1}{2}＞3a}\\{p（3a）＞0}\end{array}\right.$，解得：a無解．
所以函數(shù)g（x）不存在“好區(qū)間”．
（3）由題設(shè)，函數(shù)P（x）=$\frac{（{t}^{2}+t）x-1}{{t}^{2}x}$=$\frac{t+1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}x}$（t∈R，t≠0）有“好區(qū)間”[m，n]，其定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
根據(jù)反比例的性質(zhì)，函數(shù)P（x）=$\frac{t+1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}x}$在[n，m]上單調(diào)遞增，
則$\left\{\begin{array}{l}{p（m）=m}\\{p（n）=n}\end{array}\right.$，所以m，n是方程p（x）=x實(shí)數(shù)根．
即方程t²x²-（t²+t）x+1=0有同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．
∵mn=$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，mn同號(hào)，
∴△=（t²+t）-4t²＞0或t＜-3，解得：t＞1或t＜-3．
m-n=$\sqrt{（n+m）^{2-4mn}}=\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
當(dāng)t=3，n-m得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的理解和運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用化簡(jiǎn)計(jì)算能力和知識(shí)點(diǎn)的延升綜合運(yùn)用．屬于難題．