16.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期及x∈[$\frac{π}{12}$,$\frac{2π}{3}$]時(shí)f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊為a、b、c,其中角C滿足f(C+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$,若S△ABC=$\sqrt{3}$,c=2,求a,b(a>b)的值.

分析 (1)利用倍角公式、和差公式可得:f(x)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$.可得T=$\frac{2π}{2}$,由x∈[$\frac{π}{12}$,$\frac{2π}{3}$],可得2x∈$[\frac{π}{6},\frac{4π}{3}]$,sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],即可得出f(x)的值域.
(2)f(C+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$,可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin(2C+$\frac{π}{2}$)-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$.化為cos2C=$\frac{1}{2}$,解得C.又S△ABC=$\sqrt{3}$,c=2,可得$\frac{1}{2}ab$sinC=$\sqrt{3}$,4=a2+b2-2abcosC,a>b,解出即可得出.

解答 解:(1)f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)-cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$.
∴T=$\frac{2π}{2}$=π,
∵x∈[$\frac{π}{12}$,$\frac{2π}{3}$],2x∈$[\frac{π}{6},\frac{4π}{3}]$,sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],∴f(x)的值域?yàn)?[-\frac{5}{4},\frac{\sqrt{3}-1}{2}]$.
(2)f(C+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$,∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin(2C+$\frac{π}{2}$)-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$.
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2C-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$,∴cos2C=$\frac{1}{2}$,
∵C∈(0,π),∴C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$.
sinC=$\frac{1}{2}$.
又S△ABC=$\sqrt{3}$,c=2,
∴$\frac{1}{2}ab$sinC=$\sqrt{3}$,4=a2+b2-2abcosC,
∴ab=4$\sqrt{3}$,4=a2+b2-2ab×$(±\frac{\sqrt{3}}{2})$,又a>b,
解得a=2$\sqrt{3}$,b=2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式與余弦定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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C.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列D.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

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