10．雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A，B是C左支上兩點且$\overrightarrow{A{F_1}}=3\overrightarrow{{F_1}B}$，∠ABF2=90°，則雙曲線C的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

分析 設$|{\overrightarrow{{F_1}B}}|=x$，則$|{\overrightarrow{A{F_1}}}|=3x$，在Rt△ABF2中，由勾股定理解得x=a，在Rt△F1BF2中，x2+（2a+x）2=（2c）2，將x=a即可求出離心率．

解答 解：設$|{\overrightarrow{{F_1}B}}|=x$，則$|{\overrightarrow{A{F_1}}}|=3x$，在Rt△ABF2中，|AB|=4x，|BF2|=2a+x，|AF2|=2a+3x，
由勾股定理得（4x）2+（2a+x）2=（2a+3x）2，解得x=a，
在Rt△F1BF2中，x2+（2a+x）2=（2c）2，將x=a代入得10a2=4c2，
即$e=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．

練習冊系列答案
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20．甲、乙、丙三位同學將獨立參加英語聽力測試，根據(jù)平時訓練的經驗，甲、乙、丙三人能達標的概率分
別為P、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{5}$，若將三人中有人達標但沒有全部達標的概率為$\frac{2}{3}$，則P等于（　�。�
A．$\frac{2}{3}$B．$\frac{3}{4}$C．$\frac{4}{5}$D．$\frac{5}{6}$

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18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{f}^{'}$（e）x+xlnx（其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，x＞0）．
（Ⅰ）求f′（e）；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）是否存在整數(shù)k，使得對任意的x＞0，f（x）＞k（x-1）恒成立（*）若存在，寫出一個整數(shù)k，并證明（*）；若不存在，說明理由．

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5．已知函數(shù)f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）當x∈[1，+∞）時，求函數(shù)y=g（x）+f（x）的值域．

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15．設當x=θ時，函數(shù)f（x）=3sinx+4cosx取得最小值，則sinθ=（　　）
A．$\frac{3}{5}$B．$\frac{4}{5}$C．$-\frac{3}{5}$D．$-\frac{4}{5}$

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2．已知log183=a，log518=b，用a，b表示log3690=$\frac{1+b}{2b-2ab}$．

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19．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐A-A1B1C1的體積為$\sqrt{2}$．

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16．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]時f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊為a、b、c，其中角C滿足f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}-2}{4}$，若S△ABC=$\sqrt{3}$，c=2，求a，b（a＞b）的值．

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