Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面， 平面， ，且， 是的中點．

（Ⅰ）求證： ．

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角是．若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）點為棱的中點．

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形性質(zhì)得，再由平面，得，從而根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空間向量研究二面角：先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用方程組解各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角之間關(guān)系求二面角的余弦值．（3）先設(shè)N坐標，根據(jù)向量數(shù)量積求直線方向向量與平面法向量夾角，再根據(jù)線面角與向量夾角關(guān)系列方程，解出N坐標，最后確定N位置

試題解析：（Ⅰ）證明：∵， 是的中點，

∴，

又平面，

∴，

∵，

∴平面，

∴．

（Ⅱ）以為原點，分別以， 為， 軸，如圖建立坐標系．則：

， ， ， ， ，

， ， ， ，

設(shè)平面的一個法向量，

則： ，

取， ， ，所以，

設(shè)平面的一個法向量，則：

取， ， ，所以，

．

故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

（Ⅲ）在棱上存在一點，使得直線與平面所成的角是，

設(shè)且， ，

∴，

∴， ， ，

∴，

若直線與平面所成的的角為，則： ，

解得，

所以在棱上存在一點，使直線與平面所成的角是，

點為棱的中點．