Question

10．設(shè)雙曲線C經(jīng)過點$（1，\frac{{3\sqrt{5}}}{2}）$，且漸近線的方程為$y=±\frac{3}{2}x$，
求（1）雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C的離心率及頂點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由漸近線方程可設(shè)雙曲線的方程為y²-$\frac{9}{4}$x²=m（m≠0），代入點$（1，\frac{{3\sqrt{5}}}{2}）$，解得m，即可得到雙曲線的方程；
（2）求出雙曲線的a，b，c，由離心率公式e=$\frac{c}{a}$，可得離心率，以及頂點坐標(biāo)．

解答 解：（1）由雙曲線的漸近線的方程為$y=±\frac{3}{2}x$，
可設(shè)雙曲線的方程為y²-$\frac{9}{4}$x²=m（m≠0），
雙曲線C經(jīng)過點$（1，\frac{{3\sqrt{5}}}{2}）$，
代入可得$\frac{45}{4}$-$\frac{9}{4}$=m，
解得m=9，
則雙曲線的方程為$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$；
（2）由雙曲線的方程$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$，
可得a=3，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{13}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
頂點坐標(biāo)為（0，±3）．

點評 本題考查雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系，注意運用待定系數(shù)法，考查雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率和頂點坐標(biāo)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．