Question

8．設f（x）是R上的偶函數(shù)，對?x∈R都有f（2+x）=-f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=-x²+1；當x∈（1，2]時，f（x）=x-2．則f（x）=0的在[-1，5]上的所有根的和為10．

Answer 1

分析 由f（x+2）=-f（x），可知f（x）是周期為4的周期函數(shù)． 再由f（x）是偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=-x²+1，可得函數(shù)在[-1，5]上的解析式，令f（x）=0，求出函數(shù)的根，求和即可．

解答 解：∵對任意的x∈R，都有f（2+x）=-f（x），
∴f（4+x）=f（x），
故f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴當x∈[-1，0]時，f（x）=-x²+1，
即x∈[-1，1]時，f（x）=-x²+1，①，
令-x²+1=0，解得：x=±1；
當1≤x≤3時，-1≤x-2≤1，
∵f（2+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
此時f（x）=-f（x-2）=-[-（x-2）²+1]=（x-2）²-1，②，
令（x-2）²-1=0，解得：x=0或x=2；
3≤x≤5時，-1≤x-4≤1，
此時f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1，③，
令-（x-4）²+1=0，解得：x=3或5，
故f（x）在[-1，5]上所有的根是：-1，0，1，2，3，5，
和是10，
故答案為：10．

點評 本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)函數(shù)的零點與方程的根的關系是解決本題的關鍵，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想．