Question

17．下列四個命題：
①圓（x+2）²+（y+1）²=4與直線x-2y=0相交，所得弦長為2；
②直線y=kx與圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共點；
③“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的充分不必要條件．
④若棱長為$\sqrt{2}$的正四面體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．
其中，正確命題的序號為②④．寫出所有正確命的序號）

Answer 1

分析 由直線過圓心求得弦長判斷①；由直線與圓均過原點判斷②；由充分必要條件的判定方法判斷③；由正四面體外接球的半徑是正四面體高的$\frac{3}{4}$求出正四面體外接球的半徑，進一步求得外接球的體積判斷④．

解答 解：①直線x-2y=0經過圓（x+2）²+（y+1）²=4的圓心，直線交圓所得弦長為4，故①錯誤；
②圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1的圓心坐標為（cosθ，sinθ），到原點的距離為1，說明圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒過原點，而直線y=kx恒過原點，
∴直線y=kx與圓（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共點，故②正確；
③當a=2時，直線ax+2y=0平行于直線x+y=1．當直線ax+2y=0平行于直線x+y=1時，有a=2．
∴“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的充要條件，故③錯誤；
④棱長為$\sqrt{2}$的正四面體的高為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則其外接球的半徑為$\frac{3}{4}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，體積為$\frac{4}{3}π×$$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π，故④正確．
∴正確命題的序號是②④．
故答案為：②④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查直線與圓的位置關系，考查充分必要條件的判定方法，掌握正四面體外接球的半徑與高的關系是解答④的關鍵，是中檔題．