Question

14．如圖，邊長為2的等邊三角形ABC中，D為BC的中點，將△ABC沿AD翻折成直二面角B-AD-C，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點．
（1）求證：BC∥平面DEF；
（2）在線段AB上是否存在一點P，使CP⊥DF？若存在，求出$\frac{AP}{PB}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，推導出EF∥BC，由此能證明BC∥平面DEF．
（Ⅱ）以D為坐標原點，以直線DB，DC，DA分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段AB上是存在一點P，使CP⊥DF，并能求出$\frac{AP}{PB}$的值．

解答 證明：（Ⅰ）因為點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，
所以EF∥BC．
又因為BC?平面DEF，EF?平面DEF，
所以BC∥平面DEF． …（5分）
解：（Ⅱ）假設存在點P滿足條件．
以D為坐標原點，以直線DB，DC，DA分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意得D（0，0，0），$A（0，0，\sqrt{3}）$，B（1，0，0），C（0，1，0），$F（0，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
設$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$，則$P（\frac{λ}{1+λ}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ}）$，由CP⊥DF，得$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{DF}=0$，
即$（\frac{λ}{1+λ}，-1，\frac{{\sqrt{3}}}{1+λ}）•（0，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=0-\frac{1}{2}+\frac{3}{2（1+λ）}=0$，
解得λ=2，故在線段AB上存在點P，使CP⊥DF且$\frac{AP}{PB}=2$．   …（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的點是不存在的判斷與求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉化化歸思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．