Question

2．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為{x|-2≤x≤3}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)t，使$f（{\frac{t}{2}}）$≤m-f（-t）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化為|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[-2，3]，可得a-3=-2，從而求得a的值．
（2）由題意可得|t-1|+|2t+1|+2≤m，根據(jù)函數(shù)y=|t-1|+|2t+1|+2=$\left\{\begin{array}{l}{2-3t，t≤-\frac{1}{2}}\\{t+4，-\frac{1}{2}＜t＜1}\\{3t+2，t≥1}\end{array}\right.$，得y的最小值，從而求得m的范圍．

解答 解：（1）原不等式可化為|2x-a|≤6-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6-a≥0}\\{a-6≤2x-a≤6-a}\end{array}\right.$，
解得a-3≤x≤3．
再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[-2，3]，可得a-3=-2，
∴a=1．
（2）∵f（x）=|2x-1|+1，f（$\frac{t}{2}$）≤m-f（-t），
∴|t-1|+1≤m-（|-2t-1|+1），
∴|t-1|+|2t+1|+2≤m，
∵y=|t-1|+|2t+1|+2=$\left\{\begin{array}{l}{2-3t，t≤-\frac{1}{2}}\\{t+4，-\frac{1}{2}＜t＜1}\\{3t+2，t≥1}\end{array}\right.$，
∴y_min=3.5，
∴m≥3.5，即m的范圍是[3.5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．