Question

12．若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x+1）=f（x-1），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-2，則f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）的值等于（　�。�

• A． -$\frac{4}{3}$
• B． -$\frac{7}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1）化簡(jiǎn)后求出函數(shù)的周期，利用奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的周期性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)和轉(zhuǎn)化f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24），代入已知的解析式由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值即可．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
則函數(shù)f（x）的周期是2，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）=f（-$lo{g}_{2}^{24}$）=-f（$lo{g}_{2}^{24}$）
=-f（$lo{g}_{2}^{（8×3）}$）=-f（3+$lo{g}_{2}^{3}$）=-f（-1+$lo{g}_{2}^{3}$）
∵1＜$lo{g}_{2}^{3}$＜2，∴0＜-1+$lo{g}_{2}^{3}$＜1，
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-2，
∴f（-1+$lo{g}_{2}^{3}$）=${2}^{-1+lo{g}_{2}^{3}}-2$=$\frac{3}{2}$-2=$-\frac{1}{2}$，
即f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）=$\frac{1}{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，以及指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力．