Question

16．某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量ω（單位：千克）與肥料費用x（單位：百元）滿足如下關(guān)系：ω=4-$\frac{3}{x+1}$，且投入的肥料費用不超過5百元．此外，還需要投入其他成本2x（如是非的人工費用等）百元．已知這種水蜜桃的市場價格為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應(yīng)求．記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L（x）（單位：百元）．
（1）求利潤函數(shù)L（x）的關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）L（x）=16$（4-\frac{3}{x+1}）$-x-2x=64-$\frac{48}{x+1}$-3x（0≤x≤5）．（單位百元）．
（2）法一：L（x）=67-$（\frac{48}{x+1}+3（x+1））$利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最大值．
法二：L′（x）=$\frac{48}{（x+1）^{2}}$-3=$\frac{-3（x+5）（x-3）}{（x+1）^{2}}$，令：L′（x）=0，解得x=3．利用對數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出極大值與最大值

解答 解：（1）L（x）=16$（4-\frac{3}{x+1}）$-x-2x=64-$\frac{48}{x+1}$-3x（0≤x≤5）．（單位百元）．
（2）法一：L（x）=67-$（\frac{48}{x+1}+3（x+1））$≤67-$2×3×\sqrt{\frac{16}{x+1}×（x+1）}$=43，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時取等號．
∴當(dāng)投入的肥料費用為300元時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4300元．
法二：L′（x）=$\frac{48}{（x+1）^{2}}$-3=$\frac{-3（x+5）（x-3）}{（x+1）^{2}}$，令：L′（x）=0，解得x=3．
可得x∈（0，3）時，L′（x）＞0，函數(shù)L（x）單調(diào)遞增；x∈（3，5]時，L′（x）＜0，函數(shù)L（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=3時，函數(shù)L（x）取得極大值即最大值．
∴當(dāng)投入的肥料費用為300元時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4300元．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、函數(shù)的應(yīng)用、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．