Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x-3）e^x+ax，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a∈[0，e）時，設(shè)函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的最小值為g（a），求函數(shù)g（a）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（2），f′（2），求出切線方程即可；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f'（x），得到h（x）在（1，+∞）上有唯一零點x=m（m∈（1，2]），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（a），從而求出g（a）的值域即可．

解答 解：由題意得f'（x）=（x-2）e^x+a，（1分）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f'（x）=（x-2）e^x+1，所以f'（2）=1，
又因為f（2）=-e²+2，
則所求的切線方程為y-（-e²+2）=x-2，即x-y-e²=0．（4分）
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f'（x），則h'（x）=（x-1）e^x＞0對于?x＞1成立，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又因為a∈[0，e），
則h（1）=-e+a＜0，h（2）=a≥0，
所以h（x）在（1，+∞）上有唯一零點x=m（m∈（1，2]）．（6分）
則函數(shù)f（x）在（1，m）上單調(diào)遞減，在（m，+∞）上單調(diào)遞增，
因此當(dāng)a∈[0，e）時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的最小值為f（m）．（8分）
因為（m-2）e^m+a=0，則-a=（m-2）e^m，當(dāng)a∈[0，e）時，有m∈（1，2]．
所以函數(shù)f（x）有最小值f（m）=（m-3）e^m-（m-2）me^m=（-m²+3m-3）e^m，（10分）
令φ（m）=（-m²+3m-3）e^m（m∈（1，2]），
則φ'（m）=（-m²+m）e^m＜0在（1，2]上恒成立，所以φ（m）在（1，2]上單調(diào)遞減，
因為φ（2）=-e²，φ（1）=-e，所以φ（m）的值域為[-e²，-e），
所以g（a）的值域為[-e²，-e）．（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．