Question

5．已知△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asinA-csinC=（a-b）sinB．
（1）求角C的大��；
（2）若邊長$c=\sqrt{3}$，求△ABC的周長最大值．

Answer 1

分析 （1）通過正弦定理化簡已知表達式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．
（2）由已知利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sin（$\frac{2π}{3}$-A），利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可求a+b+c=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，根據(jù)A+$\frac{π}{6}$ 的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質得到結果．

解答 解：（1）由已知，根據(jù)正弦定理，asinA-csinC=（a-b）sinB
得，a²-c²=（a-b）b，即a²+b²-c²=ab．
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$．
又C∈（0，π）．
所以C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，$c=\sqrt{3}$，A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（$\frac{2π}{3}$-A），
∴a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=$\sqrt{3}$+2sinA+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$
∵由0＜A＜$\frac{2π}{3}$ 可知，$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得：$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1．
∴a+b+c的取值范圍（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查正弦定理與余弦定理的應用，三角函數(shù)的值的求法，以及三角函數(shù)恒等變換的應用，考查計算能力和轉化思想，屬于中檔題．