Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），圓C的方程為x²+y²-4x-2y+4=0．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求l的普通方程與C的極坐標(biāo)方程；
（2）已知l與C交于P，Q，求|PQ|．

Answer 1

分析 （1）圓C的方程為x²+y²-4x-2y+4=0．曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-1）²=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，化簡(jiǎn)得：曲線C的極坐標(biāo)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的方程，得t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，利用|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）圓C的方程為x²+y²-4x-2y+4=0．
曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-1）²=1．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，化簡(jiǎn)得：曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-4ρcosθ-2sinθ+4=0．
（2）將直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），代入曲線C的方程，得t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，
t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁•t₂=4，
∴|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程及其應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．