Question

13．已知f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n=a_n²+a_n，若不等式${e^{k（{a_n}-1）}}$≥a_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為不等式${e^{k（{a_n}-1）}}$≥a_n，得到k（n-1）≥lnn，①討論當(dāng)n=1時(shí)，不等式k（n-1）≥lnn恒成立，②當(dāng)n≥2時(shí)，不等式k≥$\frac{lnn}{n-1}$恒成立，令g（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，（x≥2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1的定義域?yàn)椋?，+∞），
且f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
故f（x）_min=f（1）=0，無最大值；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=${{a}_{1}}^{2}$+a₁，∴a₁=1，
∵2S_n=a_n²+a_n，∴2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
兩式作差得：2a_n=${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$+a_n-a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，（n≥2），
數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，∴a_n=n，
不等式${e^{k（{a_n}-1）}}$≥a_n，即為e^k（n-1）≥n，
同時(shí)取對(duì)數(shù)，k（n-1）≥lnn，
當(dāng)n=1時(shí)，不等式k（n-1）≥lnn恒成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，不等式k≥$\frac{lnn}{n-1}$恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，（x≥2），
求導(dǎo)g′（x）=$\frac{-（lnx+\frac{1}{x}-1）}{{（x-1）}^{2}}$，
由（1）得：lnx+$\frac{1}{x}$-1≥0，∴g′（x）≤0，
即g（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（2）=ln2，
∴k≥g（x）_max=ln2，
綜上，∴k≥ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)列問題，是一道綜合題．