Question

3．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC丄側面A₁AB B₁，且 AA₁=AB=2．
（1）求證：AB丄BC；
（2）若直線AC與面A₁BC所成的角為$\frac{π}{6}$，求四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中點D，連接AD，則可得AD⊥平面A₁BC，故AD⊥BC，結合BC⊥AA₁得出BC⊥平面A₁AB，故AB⊥BC；
（2）∠ACD即AC與面A₁BC所成線面角，依次計算AD，AC，得出BC，證明AB⊥平面BCC₁B₁，則四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積V=$\frac{1}{3}$S${\;}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}$•AB．

解答 證明：（1）取A₁B的中點為D，連接AD，
∵AA₁=AB，D是A₁B的中點，
∴AD⊥A₁B，
又平面A₁BC丄側面A₁AB B₁，平面A₁BC∩側面A₁AB B₁=A₁B，AD?平面A₁AB B₁，
∴AD⊥平面A₁BC，又BC?平面A₁BC，
∴AD⊥BC，
又AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
又AA₁?平面A₁AB，AD?平面A₁AB，AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁AB，又AB?平面A₁AB，
∴BC⊥AB．
（2）連接CD，
由（1）得AD⊥平面A₁BC，
∴∠ACD即AC與面A₁BC所成線面角，即$∠ACD=\frac{π}{6}$，
∵A₁A=AB=2，D為AB的中點，
∴A₁B=2$\sqrt{2}$，AD=$\frac{1}{2}$A₁B=$\sqrt{2}$，∴AC=2AD=2$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2，
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∴${V_{{A_1}-{B_1}{C_1}CB}}=\frac{1}{3}•{A_1}{B_1}•{S_{{B_1}{C_1}CB}}=\frac{1}{3}•2•2•2=\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直，面面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．