Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠BCD=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=CD=1，點E、F分別為AB和PD的中點．
（1）求證：直線AF∥平面PEC；
（2）求PC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的性質(zhì)證明線線平行，從而得到線面平行；
（2）根據(jù)直線間的兩兩垂直，盡力空間直角坐標系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的數(shù)量積求出線面的夾角的正弦值．

解答 （1）證明：如圖，

分別取PC，DC的中點G，H，連接FG，GH，EH，
則FG∥DH，F(xiàn)G=DH，DH∥AE，DH=AE，
∴FG∥AE，F(xiàn)G=AE，則四邊形AEGF為平行四邊形，則AF∥EG，
EG?平面PEC，AF?平面PEC，∴直線AF∥平面PEC；
解：∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，點E、F分別為AB和PD中點，
∴DE⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，∴以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
則 P（0，0，1），C（0，1，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0）．
設(shè)平面PAB的一個法向量為：$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
∴設(shè)PC與平面PAB所成角為θ，
∴sinθ=$|\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$．
∴PC平面PAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

點評 本題考查的知識要點：線面平行的判定的應(yīng)用，空間直角坐標系的建立，法向量的應(yīng)用，線面的夾角的應(yīng)用，主要考查學生的空間想象能力和應(yīng)用能力．