Question

4．設方程2^2x-1+x-1=0的根為x₁，函數(shù)f（x）的零點為x₂，若|x₁-x₂|≤$\frac{1}{4}$，則函數(shù)f（x）可以是（　　）

• A． $f（x）={x^{\frac{1}{2}}}-1$
• B． f（x）=2x-1
• C． $f（x）=ln（{x-\frac{1}{3}}）$
• D． f（x）=2^x-1

Answer 1

分析 由已知方程根設函數(shù)g（x），工件零點存在定理得到零點的取值范圍，分別求出選項中函數(shù)f（x）的零點，判斷不等式|x₁-x₂|≤$\frac{1}{4}$是否成立即可

解答 解：∵方程2^2x-1+x-1=0的根為x₁，設g（x）=2^2x-1+x-1，則它的零點為x₁，且g（1）=2+1-1＞0，g（0）=$\frac{1}{2}$-1＜0，g（$\frac{1}{2}$）=1+$\frac{1}{2}$-1＞0，
g（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{4}-1$＜0，則x₁∈（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$），
A．由f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$-1=0，得x=1，即函數(shù)的零點為x₂=1，則不滿足|x₁-x₂|≤$\frac{1}{4}$；
B．由f（x）=2x-1=0，得x=$\frac{1}{2}$，即函數(shù)的零點為x₂=$\frac{1}{2}$，滿足|x₁-x₂|≤$\frac{1}{4}$；
C．由ff（x）=ln（x-$\frac{1}{3}$）=0得x=$\frac{4}{3}$，即函數(shù)零點為x₂=$\frac{4}{3}$，則不滿足|x₁-x₂|≤$\frac{1}{4}$；
D．由f（x）=2^x-1=0，得x=0，即函數(shù)的零點為x₂=0，則不滿足|x₁-x₂|≤$\frac{1}{4}$；
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的零點的求法及二分法求函數(shù)的零點的近似，分別求出函數(shù)的零點是解決本題的關鍵．．