Question

7．設(shè)P為曲線C₁上動(dòng)點(diǎn)，Q為曲線C₂上動(dòng)點(diǎn)，則稱|PQ|的最小值為曲線C₁，C₂之間的距離，記作d（C₁，C₂）．若C₁：x²+y²=2，C₂：（x-3）²+（y-3）²=2，則d（C₁，C₂）=$\sqrt{2}$；若C₃：e^x-2y=0，C₄：lnx+ln2=y，則d（C₃，C₄）=$\sqrt{2}$（1-ln2）．

Answer 1

分析 考慮到C₁：x²+y²=2，C₂：（x-3）²+（y-3）²=2，利用圓心距減去半徑，可得結(jié)論；
考慮到兩曲線C₃：e^x-2y=0，C₄：lnx+ln2=y關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式即可得到最小值．

解答 解：C₁（0，0），r₁=$\sqrt{2}$，C₂（3，3），r₂=$\sqrt{2}$，d（C₁，C₂）=3$\sqrt{2}$$-\sqrt{2}-\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；
∵C₃：e^x-2y=0，C₄：lnx+ln2=y互為反函數(shù)，
先求出曲線e^x-2y=0上的點(diǎn)到直線y=x的最小距離．
設(shè)與直線y=x平行且與曲線e^x-2y=0相切的切點(diǎn)P（x₀，y₀）．
y′=$\frac{1}{2}$e^x，
∴$\frac{1}{2}{e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=ln2
∴y₀=1．
得到切點(diǎn)P（ln2，1），到直線y=x的距離d=$\frac{1-ln2}{\sqrt{2}}$，
丨PQ丨的最小值為2d=$\sqrt{2}$（1-ln2），
故答案為$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$（1-ln2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．