Question

6．已知函數(shù)f（x）=2x²+mx-1，m為實(shí)數(shù)．
（1）已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)f（x），都有f（x）=f（2-x）成立，設(shè)集合A={y|y=f（x），x∈[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$]}，求集合A．
（2）記所有負(fù)數(shù)的集合為R^-，且R^-∩{y|y=f（x）+2}=∅，求所有符合條件的m的集合；
（3）設(shè)g（x）=|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，然后求解函數(shù)的最值即可．
（2）利用函數(shù)恒成立，通過(guò)判別式求解即可．
（3）化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)a與x討論求解即可．

解答 解：（1）對(duì)于x∈R都有f（x）-f（2-x）=0，所以f（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以$-\frac{m}{4}=1$，
∴m=-4，所以f（x）=2（x-1）²-3為減函數(shù)，
$f{（x）_{max}}=-2\sqrt{2}，f{（x）_{max}}=2\sqrt{2}$，
∴$A=[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$；
（2）由題意y=f（x）+2≥0在R上恒成立，即2x²+mx+1≥0在R上恒成立，
∴△=m²-8≤0，∴$\left\{{m|-2\sqrt{2}≤m≤2\sqrt{2}}\right\}$；
（3）令φ（x）=f（x）+g（x），∴φ（x）=x²+|x-a|-1；
①當(dāng)x≤a時(shí)，$φ（x）={x^2}-x+a-1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+a-\frac{5}{4}$，當(dāng)$a≤\frac{1}{2}$，則函數(shù)φ（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，從而函數(shù)φ（x）在（-∞，a]上的最小值為φ（a）=a²-1，若$a＞\frac{1}{2}$，函數(shù)φ（x）在（-∞，a]上的最小值$φ（{\frac{1}{2}}）=a-\frac{5}{4}$，且$φ（{\frac{1}{2}}）=a-\frac{5}{4}$，且$φ（{\frac{1}{2}}）≤φ（a）$；
②當(dāng)x＞a時(shí)，函數(shù)$φ（x）={x^2}+x-a-1={（{x+\frac{1}{2}}）^2}-a-\frac{5}{4}$，$a≥-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)φ（x）在（a，+∞）上單調(diào)增，∴φ（x）_min=φ（a）=a-1，
當(dāng)$a＜-\frac{1}{2}$時(shí)，φ（x）在$（{a，-\frac{1}{2}}）$上單調(diào)減，在$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)增，
∴$φ{(diào)（x）_{min}}=φ（{-\frac{1}{2}}）=-a-\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．