Question

3．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足S_n-2a_n=n-4．
（1）證明{S_n-n+2}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁，求得首項為3，由題意可得S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]，運用等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式可得${S_n}={2^{n+1}}+n-2$，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：當(dāng)n=1時，a₁=S₁，S₁-2a₁=1-4，
可得a₁=3，
S_n-2a_n=n-4轉(zhuǎn)化為：S_n-2（S_n-S_n-1）=n-4（n≥2），
即S_n=2S_n-1-n+4，
所以S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]
注意到S₁-1+2=4，
所以{S_n-n+2}為首項為4，公比為2等比數(shù)列；
（2）由（1）知：${S_n}-n+2={2^{n+1}}$，
所以${S_n}={2^{n+1}}+n-2$，
于是${T_n}=（{2^2}+{2^3}+…+{2^{n+1}}）+（1+2+…+n）-2n$
=$\frac{{4（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{n（n+1）}{2}-2n$=$\frac{{{2^{n+3}}+{n^2}-3n-8}}{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，同時考查等差數(shù)列的求和公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．