Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+3）x-a．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，若y=f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為-5，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）代入a的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論a，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)為f（x）=x²-4x-1，
所以函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間為[2，+∞）；
（2）由題意得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x滿(mǎn)足要求；
當(dāng)a≠0時(shí)，由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
可得：$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ \frac{a+3}{2a}≤0\end{array}\right.$，得：-3≤a＜0，
綜上，滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的解集為：[-3，0]； 
（3）∵f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為-5，a＞0，
此時(shí)函數(shù)f（x）=ax²-（a+3）x-a的圖象是開(kāi)口朝上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)$x=\frac{a+3}{2a}$＞0，
若$\frac{a+3}{2a}≥2$即0＜a≤1，此時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
f（x）_min=f（2）=-5得a=1，
若$\frac{a+3}{2a}＜2$，則a＞1，此時(shí)當(dāng)$x=\frac{a+3}{2a}$時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，
即$a{（\frac{a+3}{2a}）^2}-（a+3）（\frac{a+3}{2a}）-a=-5$，解得$a=\frac{9}{5}$或a=1（舍去），
綜上所述，$a=\frac{9}{5}$或a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．