分析 取AD中點O,連結(jié)PO,以O(shè)為原點,OA為x軸,在平面ABCD中過O作AD的垂線為y軸,以O(shè)P為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出在線段AB上存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,且AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
解答 解:假設(shè)在線段AB上存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.
取AD中點O,連結(jié)PO,
∵底面是正方形的四棱錐中P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是等腰直角三角形,其中PA=PD,
∴PO⊥平面ABCD,
以O(shè)為原點,OA為x軸,在平面ABCD中過O作AD的垂線為y軸,以O(shè)P為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=PD=$\sqrt{2}$,
則G(1,t,0)(0≤t≤2),C(-1,2,0),P(0,0,$\sqrt{2}$),D(-1,0,0),
$\overrightarrow{PD}$=(-1,0,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PC}$=(-1,2,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PG}$=(1,t,-$\sqrt{2}$),
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+2y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$,取x=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{2}$,0,-1),
設(shè)平面PDG的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-a-\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PG}=a+tb-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$,取a=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{2}$,-$\frac{2\sqrt{2}}{t}$,-1),
∵二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
∴$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}×\sqrt{3+\frac{8}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴在線段AB上存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,且AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
點評 本題考查滿足條件的點的位置的確定與求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
空氣質(zhì)量指數(shù)(μg/m3)區(qū)間 | [0,50) | [50,100) | [100,150) | [150,200) | [200,250) |
空間質(zhì)量等級 | 空氣優(yōu) | 空氣良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 20 | 40 | m | 10 | 5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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