15.底面是正方形的四棱錐中P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是等腰直角三角形,其中PA=PD,E,F(xiàn)分別為線段PC,DB的中點,問在線段AB上是否存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,若存在,請求出點G的位置;若不存在,請說明理由.

分析 取AD中點O,連結(jié)PO,以O(shè)為原點,OA為x軸,在平面ABCD中過O作AD的垂線為y軸,以O(shè)P為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出在線段AB上存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,且AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

解答 解:假設(shè)在線段AB上存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.
取AD中點O,連結(jié)PO,
∵底面是正方形的四棱錐中P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是等腰直角三角形,其中PA=PD,
∴PO⊥平面ABCD,
以O(shè)為原點,OA為x軸,在平面ABCD中過O作AD的垂線為y軸,以O(shè)P為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=PD=$\sqrt{2}$,
則G(1,t,0)(0≤t≤2),C(-1,2,0),P(0,0,$\sqrt{2}$),D(-1,0,0),
$\overrightarrow{PD}$=(-1,0,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PC}$=(-1,2,-$\sqrt{2}$),$\overrightarrow{PG}$=(1,t,-$\sqrt{2}$),
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+2y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$,取x=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{2}$,0,-1),
設(shè)平面PDG的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-a-\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PG}=a+tb-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$,取a=$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{2}$,-$\frac{2\sqrt{2}}{t}$,-1),
∵二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
∴$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}×\sqrt{3+\frac{8}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴在線段AB上存在點G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,且AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

點評 本題考查滿足條件的點的位置的確定與求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.圓x2+y2-2y=0與曲線y=|x|-1的公共點個數(shù)為( 。
A.4B.3C.2D.0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.全世界人們越來越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題,某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
空氣質(zhì)量指數(shù)(μg/m3)區(qū)間[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)
空間質(zhì)量等級空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染
天數(shù)2040m105
(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n,m的值,并完成頻率分布直方圖;
(2)由頻率分布直方圖求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù);
(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于[50,100)和[150,200)的監(jiān)測數(shù)據(jù)中,用分層抽樣的方法抽取5天,再從中任意選取2天,求事件A”兩天空氣都為良“發(fā)生的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.已知雙曲線x2+ny2=1(n∈R)與橢圓$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦點,則該雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.由于渤海海域水污染嚴(yán)重,為了獲得第一手的水文資料,潛水員需要潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè),根據(jù)經(jīng)驗,潛水員下潛的平均速度為v(米/單位時間),每單位時間消耗氧氣${(\frac{v}{10})^3}+1$(升),在水底作業(yè)10個單位時間,每單位時間消耗氧氣0.9(升),返回水面的平均速度為$\frac{v}{2}$(米/單位時間),每單位時間消耗氧氣1.5(升),記該潛水員完成此次任務(wù)的消耗氧氣總量為y(升).
(1)求y關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若c≤v≤15(c>0),求當(dāng)下潛速度v取什么值時,消耗氧氣的總量最少.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$(n≥1,n∈N*).
(Ⅰ)求a1,a2,a3的值;
(Ⅱ)求證:對任意的自然數(shù)n∈N*,不等式a1•a2…an<2•n!成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.已知等比數(shù)列{an}中,a3a9=2a52,且a3=2,則a5=(  )
A.-4B.4C.-2D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知等差數(shù)列{an}中,a2=2,a12=-2,則{an}的前10項和為6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知正三棱錐P-ABC,點P,A,B,C都在半徑為3的球面上,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離為1.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案