Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，a＞0．
（1）記f（x）的極小值為g（a），求g（a）的最大值；
（2）若對任意實數(shù)x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值g（a）的表達式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（a）的最大值即可；
（2）通過討論x的范圍，問題轉(zhuǎn)化為$a≤\frac{e^x}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（a）的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，+∞），f'（x）=e^x-a，
令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞）；
令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，lna），
函數(shù)f（x）在x=lna處取極小值，
$g（a）=f{（x）_{極小值}}=f（{lna}）={e^{lna}}-alna=a-alna$…（3分）
g'（a）=1-（1+lna）=-lna，
當0＜a＜1時，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當a＞1時，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以a=1是函數(shù)g（a）在（0，+∞）上唯一的極大值點，也是最大值點，
所以g（a）_max=g（1）=1…（6分）
（2）當x≤0時，a＞0，e^x-ax≥0恒成立，…（7分）
當x＞0時，f（x）≥0，即e^x-ax≥0，即$a≤\frac{e^x}{x}$…（8分）
令$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}），h'（x）=\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（{x-1}）}}{x^2}$，
當0＜x＜1時，h'（x）＜0，當x＞1時，h'（x）＞0，
故h（x）的最小值為h（1）=e，
所以a≤e，故實數(shù)a的取值范圍是（0，e]…（10分）
f（a）=e^a-e²，a∈（0，e]，f'（a）=e^a-2a，由上面可知e^a-2a≥0恒成立，
故f（a）在（0，e]上單調(diào)遞增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=e^e-e²，
即f（a）的取值范圍是（1，e^e-e²]…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．