Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（{ωx+φ}）（{ω＞0}）$的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{2}$對稱且$f（{\frac{3π}{8}}）=1，f（x）$在區(qū)間$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上單調(diào)，則ω可取數(shù)值的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意直線$x=\frac{π}{2}$是對稱軸，$f（{\frac{3π}{8}}）=1，f（x）$在$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上是同一區(qū)間，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求ω取數(shù)值的個數(shù)為．

解答 解：由題意：函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（{ωx+φ}）（{ω＞0}）$的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{2}$對稱，$f（{\frac{3π}{8}}）=1，f（x）$在區(qū)間$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上單調(diào)，即在$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上是同一單調(diào)區(qū)間．
∴當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值或最小值，即$\frac{ωπ}{2}+$φ=±$\frac{π}{2}$+kπ…①，
sin（$\frac{3π}{8}ω$+φ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{3π}{8}ω$+φ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{8}ω$+φ=$\frac{3π}{4}$，…②，
∵在$[{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{4}}]$上是同一區(qū)間，
∴$\frac{π}{8}＜\frac{T}{2}$，即ω＜8．
∴0＜ω＜8．
由①②解得：πω=8（$±\frac{π}{2}+kπ-\frac{3π}{4}$）或πω=8（$±\frac{π}{2}+kπ-\frac{π}{4}$），k∈Z．
經(jīng)檢驗：ω可取數(shù)值的個數(shù)為2．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)圖象及性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力和計算能力．屬于中檔題．