Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2a_n-1，則滿足$\frac{{a}_{n}}{n}≤2$的最大正整數(shù)n的值為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 S_n=2a_n-1，n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=2^n-1.$\frac{{a}_{n}}{n}≤2$化為：2^n-1≤2n，即2ⁿ≤4n．驗(yàn)證n=1，2，3，4時都成立．n≥5時，2ⁿ=（1+1）ⁿ，利用二項(xiàng)式定理展開即可得出．2ⁿ＞4n．

解答 解：S_n=2a_n-1，n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2．
a_n=2^n-1．
$\frac{{a}_{n}}{n}≤2$化為：2^n-1≤2n，即2ⁿ≤4n．
n=1，2，3，4時都成立．
n≥5時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=$1+{∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{2}$+…+${∁}_{n}^{n-2}$+${∁}_{n}^{n-1}$+${∁}_{n}^{n}$≥2（$1+{∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{2}$）=n²+n+2，
下面證明：n²+n+2＞4n，
作差：n²+n+2-4n=n²-3n+2=（n-1）（n-2）＞0，
∴n²+n+2＞4n，
則滿足$\frac{{a}_{n}}{n}≤2$的最大正整數(shù)n的值為4．
故答案為：C．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．