Question

12．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長2的正方形，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）AA₁=2$\sqrt{2}$，求異面直線EF與BC所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD₁，推導(dǎo)出EF∥D₁B，由此能證明EF∥平面ABC₁D₁．
（2）由EF∥BD₁，知∠D₁BC是異面直線EF與BC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線EF與BC所成的角的大�。�

解答 證明：（1）連結(jié)BD₁，
在△DD₁B中，E、F分別是D₁D、DB的中點，
∴EF是△DD₁B的中位線，
∴EF∥D₁B，
∵D₁B?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
解：（2）∵AA₁=2$\sqrt{2}$，AB=2，EF∥BD₁，
∴∠D₁BC是異面直線EF與BC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥平面CDD₁C₁，CD₁?平面CDD₁C₁，
∴BC⊥CD₁．
在Rt△D₁C₁C中，BC=2，CD₁=2$\sqrt{3}$，D₁C⊥BC，
∴tan∠D₁BC=$\frac{{D}_{1}C}{BC}=\sqrt{3}$，
∴∠D₁BC=60°，
∴異面直線EF與BC所成的角的大小為60°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．