Question

6．已知圓M：x²+y²=r²（r＞0）與直線l₁：$x-\sqrt{3}y+4=0$相切，設(shè)點A為圓上一動點，AB⊥x軸于B，且動點N滿足$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{NB}$，設(shè)動點N的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l與直線l₁垂直且與曲線C交于P，Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓M的程為M：x²+y²=4，利用$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{NB}$，所以（0，-y₀）=2（x₀-x，-y），即可求曲線C的方程；
（2）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}x-m\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$得$13{x^2}+8\sqrt{3}mx+4{m^2}-4=0$，表示出△OPQ面積，即可求△OPQ面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)動點N（x，y），A（x₀，y₀），因為AB⊥x軸于B，所以B（x₀，0），
設(shè)圓M的方程為M：x²+y²=r²，
由題意得$r=\frac{|4|}{{\sqrt{1+3}}}=2$，
所以圓M的程為M：x²+y²=4．
由題意，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{NB}$，所以（0，-y₀）=2（x₀-x，-y），
所以，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x\\{y_0}=2y\end{array}\right.$
將A（x，2y）代入圓M：x²+y²=4，得動點N的軌跡方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
（Ⅱ）由題意設(shè)直線l$\sqrt{3}x+y+m=0$，設(shè)直線l與橢圓交于$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}x-m\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$得$13{x^2}+8\sqrt{3}mx+4{m^2}-4=0$，△=192m²-4×13（4m²-4）=16（-m²+13）＞0，解得m²＜13，${x_{1，2}}=\frac{{-8\sqrt{3}m±\sqrt{16（-{m^2}+13）}}}{26}=\frac{{-4\sqrt{3}m±2\sqrt{13-{m^2}}}}{13}$，
又因為點O到直線l的距離$d=\frac{|m|}{2}$，$PQ=2|{{x_1}-{x_2}}|=2\frac{{4\sqrt{-{m^2}+13}}}{13}$，${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}•\frac{|m|}{2}•2\frac{{4\sqrt{13-{m^2}}}}{13}=\frac{{2\sqrt{{m^2}（13-{m^2}）}}}{13}≤1$．
所以△OPQ面積的最大值為1．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的運用，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．