Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-3，4），$\overrightarrow$=（2，2）．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值；
（Ⅱ）λ為何值時，$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值．
（Ⅱ）根據(jù)（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，求得λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\left|{a}\right|=\sqrt{{{（-3）}^2}+{4^2}}=5$，$\left|\right|=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x₁x₂+y₁y₂=-6+8=2，
∴$cosθ=\frac{{{a}•}}{{\left|{a}\right|\left|\right|}}=\frac{1}{{5\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，即 $\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$=（-3+2λ，4+2λ），∵$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，
則（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=（-3）（-3+2λ）+4（4+2λ）=0，解得$λ=-\frac{25}{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的條件，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎題．