Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x|+|x-6|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤10的解集；
（Ⅱ）記f（x）的最小值為m，若正實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=m，求證：$\sqrt{a}+\sqrt{2b}+\sqrt{3c}≤m$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值的意義，寫出分段函數(shù)，即可求不等式f（x）≤10的解集；
（Ⅱ）利用絕對值不等式，求出m，再利用柯西不等式進(jìn)行證明．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x+6，x≤0\\ 6，0＜x≤6\\ 2x-6，x＞6.\end{array}\right.$
當(dāng)x≤0時，由-2x+6≤10，解得-2≤x≤0；
當(dāng)0＜x≤6時，因為6＜10，所以0＜x≤6；
當(dāng)x＞6時，由2x-6≤10，解得6＜x≤8
綜上可知，不等式f（x）≤10的解集為[-2，8]．
（Ⅱ）由|x|+|x-6|≥|x-（x-6）|=6知，f（x）的最小值為6，即m=6，所以a+b+c=6，
由柯西不等式可得（a+b+c）（1+2+3）=$（{{{（{\sqrt{a}}）}^2}+{{（{\sqrt}）}^2}+{{（{\sqrt{c}}）}^2}}）$$（{{{（{\sqrt{1}}）}^2}+{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}）$$≥{（{\sqrt{a}+\sqrt{2b}+\sqrt{3c}}）^2}$
因此$\sqrt{a}+\sqrt{2b}+\sqrt{3c}$≤6=m．

點(diǎn)評 本題考查不等式的解法，考查柯西不等式證明不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．