Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，的面積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意，得到，，從而可得，進(jìn)而得到橢圓的方程；

（2）設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交，是兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題意，利用圓和橢圓的對(duì)稱性，得到，再由，得到或，分類討論，即可求得圓的半徑.

（1）設(shè)，其中，

由，可得，

從而，故，

從而，由，得，

因此，所以，故，

因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）如圖所示，設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交，

由是兩個(gè)交點(diǎn)，是圓的切線，且，

由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知，，

由（1）知，所以，

再由，得，

由橢圓方程得，即，解得或，

當(dāng)時(shí)，重合，此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在，

當(dāng)時(shí)，過(guò)分別與垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心，

由是圓的切線，且，知，

又，故圓的半徑.