(本小題滿分14分)
已知雙曲線和圓(其中原點為圓心),過雙曲線上一點引圓的兩條切線,切點分別為、
(1)若雙曲線上存在點,使得,求雙曲線離心率的取值范圍;
(2)求直線的方程;
(3)求三角形面積的最大值.
(本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎知識,考查運算求解能力和推理論證能力,以及數(shù)形結合、分類討論思想和創(chuàng)新意識等.)
解:(1)因為,所以,所以.…………………1分
及圓的性質,可知四邊形是正方形,所以
因為,所以,所以.……………3分
故雙曲線離心率的取值范圍為.…………………………………………………………4分
(2)方法1:因為,
所以以點為圓心,為半徑的圓的方程為.………5分
因為圓與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線,……………………………………………6分
所以聯(lián)立方程組………………………………………………7分
消去,,即得直線的方程為.………………………………………………8分
方法2:設,已知點
,
因為,所以,即.…………………………………………5分
整理得
因為,所以.……………………………………………………………6分
因為,根據(jù)平面幾何知識可知,
因為,所以.………………………………………………………………………7分
所以直線方程為

所以直線的方程為.………………………………………………………………8分
方法3:設,已知點,
,
因為,所以,即.…………………………………………5分
整理得
因為,所以.……6分
這說明點在直線上.…………7分
同理點也在直線上.
所以就是直線的方程.……8分
(3)由(2)知,直線的方程為,
所以點到直線的距離為
因為,
所以三角形的面積.……………………………………10分
以下給出求三角形的面積的三種方法:
方法1:因為點在雙曲線上,
所以,即

所以.………………………………………………………………………………………11分
因為,
所以當時,,當時,
所以上單調遞增,在上單調遞減.……………………………………12分
,即時,,…………………………………13分
,即時,
綜上可知,當時,;當時,.………14分
方法2:設,則.…………………………………………11分
因為點在雙曲線上,即,即
所以
,則
所以當時,,當時,
所以上單調遞減,在上單調遞增.…………………………………12分
,即時,,……………………………………13分
,即時,
綜上可知,當時,;當時,.………14分
方法3:設,則.…………………………………11分
因為點在雙曲線上,即,即
所以
,
所以上單調遞增,在上單調遞減.………………………………12分
因為,所以
,即時,,此時
………………………………13分
,即時,,此時
綜上可知,當時,;當時,.………14分
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